Vecteurs, droites et plans de l’espace - Spécialité

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les points \(A \left(12;-9;1\right)\), \(B \left(-34;27;-16\right)\), \(C \left(7;-7;8\right)\) et \(D \left(13;-11;z\right)\).

Donner la valeur de \(z\) pour que \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) soient coplanaires.

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Parmi les quadruplets de points suivants, lesquels sont coplanaires ?

• 1.\(A\left(-10;-4;-3\right), \: B\left(-8;-5;-8\right), \: C\left(-2;-3;-8\right)\: \text{et} \: D\left(22;15;22\right)\)
• 2.\(A\left(-12;-8;-19\right), \: B\left(-6;-7;-15\right), \: C\left(-5;-11;-22\right)\: \text{et} \: D\left(23;27;58\right)\)
• 3.\(A\left(3;-1;-4\right), \: B\left(-1;2;-4\right), \: C\left(1;3;3\right)\: \text{et} \: D\left(2;-6;2\right)\)
• 4.\(A\left(1;0;0\right), \: B\left(-7;-10;-7\right), \: C\left(3;4;7\right)\: \text{et} \: D\left(4;3;0\right)\)

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Parmi les triplets de vecteurs suivants, lesquels sont coplanaires ?

• 1.\(\vec{u}\left(-3;5;-5\right)\) , \(\vec{v}\left(-2;-3;4\right)\) et \(\vec{w}\left(-3;-3;2\right)\)
• 2.\(\vec{u}\left(6;1;7\right)\) , \(\vec{v}\left(-6;-3;-42\right)\) et \(\vec{w}\left(4;0;-7\right)\)
• 3.\(\vec{u}\left(2;5;5\right)\) , \(\vec{v}\left(3;-4;-7\right)\) et \(\vec{w}\left(7;3;-3\right)\)
• 4.\(\vec{u}\left(-14;7;-18\right)\) , \(\vec{v}\left(2;-5;2\right)\) et \(\vec{w}\left(4;-3;5\right)\)

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les vecteurs \(\overrightarrow{AB} \left(-3;6;-7\right) \) , \(\overrightarrow{CD} \left(6;-3;7\right)\) et \(\overrightarrow{EF} \left(-15;3;z\right)\).

Donner la valeur de \(z\) pour que \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{EF}\) soient coplanaires.

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les points \(A \left(-9;-2;4\right)\), \(B \left(26;-2;-10\right)\), \(C \left(-10;2;4\right)\) et \(D \left(x;2;2\right)\).

Donner la valeur de \(x\) pour que \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) soient coplanaires.